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Fecha lìmite de entrega de la actividad: 6/09/2019 a las 15:00 hrs.
Profra. Ma. Eugenia Gonzàlez Sandoval
martes, 20 de agosto de 2019
ACTIVIDAD 2. PRODUCTO DE VECTORES
Explica y ejemplifica los siguientes productos de vectores: Producto de un escalar por un vector. Producto escalar y vectorial de vectores.
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Producto de un escalar por un vector:
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector es igual a otro vector y tiene la misma dirección que el primero. Al realizar la operación, el escalar cambia el módulo del vector y si es negativo también cambia el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V= (x,y)
k•V= k•(x,y)= (k•x,k•y)
Ejemplos:
a) V=(2,1)
k=2
k•V= 2(2,1)= (4,2)
b) V=(2,2)
k=-1
k•V= -1(2,2)= (-2,-2)
Producto escalar
El producto escalar de un vector Ā y Ē, (denotado como ā•ē) devuelve un número escalar. Tal que:
Ā ∙ Ē = |A| |Ē| cosθ
Donde θ es el ángulo entre ambos vectores.
También se define como: Ā · Ē= AxEx + AyEy + AzEz
Ejemplos:
a) Ā = (2, 4, 5) y Ē = (- 2, 3, 7).
Ā•Ē = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) =
= – 4 + 12 + 35 =
= 43
b) Ā= (2, 3) y Ē= (-1, 1), θ = 30⁰
|Ā|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2 ]= √ [ (2)2 +(3)2 ] = √ (4 + 9 ) = √13
|Ē|= √ [ (Ex)2 +(Ey)2 ]= √ [ (-1)2 +(1)2 ] = √ (1 + 1 ) = √2
Ā•Ē = √13 √2 cos30 ⁰
= (√26 √3)/2
= √78 / 2
Producto Vectorial:
El producto vectorial de un vector Ā y Ē , denotado como Ā•Ē , es un vector tal que:
|Ā•Ē|=|Ā|•|Ē|•sin(a)
No es conmutativo, sino anticonmutativo.
Quedando:
Ī Ō Ū
Ā•B = Ax Ay Az
BxByBz
= Ī (aybz - azby) - Ō (axbz - azbx) + Ū (axby - aybx)
Ā•B = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Ejempls:
a) a = {1; 2; 3} y b = {2; 1; -2}.
Solución
i j k
a × b = 1 2 3
2 1 -2
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =
= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Ponce Calzada Angel Julián, 3IM2
Producto de un Vector por un Escalar: El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido.
ResponderBorrarRepresentación gráfica:
Al multiplicar un vector a→ por un escalar (número) λ, obtenemos un nuevo vector b→= λ⋅ a→ que tiene las siguientes características:
La dirección de a→ y b→ son la misma
Si λ es:
positivo. a→ y b→ tendrán el mismo sentido
negativo. a→ y b→ tendrán distinto sentido.
El módulo de b→ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a→ o lo que es lo mismo ∣∣∣b→∣∣∣ = |λ| ⋅ ∣∣a→∣∣
Representación analítica:
El producto de un vector a→ por un escalar λ, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de λ por cada una de las componentes del vector a→.
λ ⋅ a→=(λ ⋅ ax) ⋅ i→+ (λ ⋅ ay) ⋅ j→
Calculo del vector unitario
Como vimos anteriormente, todo vector se puede expresar como a→=a ⋅ ua−→. Partiendo de esta ecuación se obtiene que:
−→= (axa) ⋅ ux−→+(aya) ⋅ uy→
Ejemplo
Dado el vector
a→=3⋅i→+ 4⋅j→
a) Calcula 2⋅a→
b) Calcula el vector unitario de a→ , u→a
Producto Escalar de Vectores:
Representación Gráfica del Producto Escalar
El producto escalar de un vector a→ y otro b→, denotado como a→ ⋅ b→ devuelve un número (escalar) tal que,
a→ ⋅ b→= ∣∣a→∣∣ ⋅ ∣∣∣b→∣∣∣ ⋅ cos(α)
donde α es el angulo que forman los vectores a→ y b→.
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
Interpretación Geométrica del Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores a→ y b→ no nulos se puede entender como el producto del módulo de b→ por el valor de la proyección de a→ sobre la recta que define la dirección de b→.
Representación Analítica del Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores a→ y b→ devuelve un escalar que se obtiene como la suma de las multiplicaciones una a una de las componentes cartesianas de los 2 vectores a→ y b→. En el caso de vectores en dos dimensiones, podemos usar la expresión:
a→⋅b→ = (ax⋅bx) + (ay⋅by)
Ejemplo
Dados los vectores:
a→= −i→ + 3⋅j→b→= 2⋅i→ − 2⋅j→c→= − 4⋅i→ − j→
Calcular:
a)a→⋅b→
b)b→⋅c→
Producto vectorial de vectores:
La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. ... que corresponde al desarrollo de la forma más compacta de un determinante del producto vectorial.
Dados los vectores a→=3⋅i→+2⋅j→ y b→ (2,-1), determina su producto vectorial.
Solución
Datos
Vector a→=3⋅i→+2⋅j→=(3,2)
Vector b→=2⋅i→−j→=(2,−1)
Consideraciones previas
Observa que los vectores se encuentran en el mismo plano (z = 0). Es decir az = bz = 0
De los Santos Ramírez Julio Alfonso 3IM2
1)Producto de un escalar por un vector:
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
EJEMPLO: Si el vector V tiene 2 coordenadas
V=(x,y)
K(V)=K(V)(X,Y)=(K)(X),(K)(Y)
2) Producto Escalar y vectorial de vectores:
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
A=(ax,ay),B
=(Bx,By)
A.B= Ax Bx + Ay By
También
A.B= ABcosø
Ø= ángulos entre los vectores
El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
U=(Ux,Uy,Uz)
V=(Ux,Uy,Uz)
||UxV||=UVsenø
Ø= ángulo entre los vectores
Rivero Espinoza Ariadna Beatriz 3IM2
-EL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR -
ResponderBorrarDa por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
(K)(V)=K(X,Y)=(K·X,K·Y)
V=(2,1)
K=2
K·V=2·(2,1)=(4,2)
V=2,2
K=-1
K·V=-1·(2,2)=8-2,-2)
-PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL DE VECTORES-
El producto escalar o producto punto entre dos vectores se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. El resultado de esta operación es un número o escalar.
A·B=IAIIBICos0=ABCos0
El producto vectorial o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.
Barrera Barrueta Fatima Natalia 3IM2
Producto escalar por un vector
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
Ejemplo
Producto escalar : Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como: A ∙ B = |A| |B| cosθ Donde θ es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como: A · B = AxBx + AyBy + AzBz El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí. EJERCICIOS Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 4, 5) y B = (- 2, 3, 7). De la fórmula del producto escalar tenemos: A · B = AxBx + AyBy + AzBz Por lo tanto: A · B = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) = – 4 + 12 + 35 = 43
Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 3) y B = (-1, 1), considerando que el ángulo entre ambos es θ = 30⁰.
De la fórmula del producto escalar tenemos:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Calculamos el módulo de ambos vectores:
|A|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2 ]= √ [ (2)2 +(3)2 ] = √ (4 + 9 ) = √13
|B|= √ [ (Bx)2 +(By)2 ]= √ [ (-1)2 +(1)2 ] = √ (1 + 1 ) = √2
Por lo tanto:
A ∙ B = √13 √2 cos30 ⁰ =
= (√26 √3)/2 =
= √78 / 2
Determinar si los vectores A = (2, – 3) y B = (-5, -10/3) son perpendiculares.Dos vectores A y B son perpendiculares si el producto escalar de ambos es cero, es decir:A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0 Por lo tanto:
A · B = (2)(-5) + (-3)(-10/3) =
= – 10 + 10 =
= 0
Ambos vectores son perpendiculares.
Dados los vectores A = (2, a) y B = (3, -2), calcular a para que ambos vectores sean perpendiculares.
Para que ambos vectores sean perpendiculares el producto escalar de ambos debe ser cero, es decir:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
Por lo tanto:
A · B = (2)(3) + a(-2) = 0
6 – 2a = 0
6 = 2a
6/2 = a
a = 3
Producto vectorial de vectores a = {ax; ay; az} y b = {bx; by; bz} ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a × b = ijkaxayazbxbybz = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx)
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Calcular producto vectorial de los vectores a = {1; 2; 3} y b = {2; 1; -2}.
Solución
a × b = i j k =
1 2 3
2 1 -2
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =
= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Sierra García Ana Danae 3IM2
Producto de un escalar por un vector:
ResponderBorrarRepresentación gráfica
Al multiplicar un vector a→ por un escalar (número) λ, obtenemos un nuevo vector b→= λ⋅ a→ que tiene las siguientes características:
La dirección de a→ y b→ son la misma
Si λ es:
positivo. a→ y b→ tendrán el mismo sentido
negativo. a→ y b→ tendrán distinto sentido.
El módulo de b→ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a→ o lo que es lo mismo ∣∣∣b→∣∣∣ = |λ| ⋅ ∣∣a→∣∣
Representación analítica
El producto de un vector a→ por un escalar λ, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de λ por cada una de las componentes del vector a→.
λ ⋅ a→=(λ ⋅ ax) ⋅ i→+ (λ ⋅ ay) ⋅ j→
Calculo del vector unitario
Como vimos anteriormente, todo vector se puede expresar como a→=a ⋅ ua−→. Partiendo de esta ecuación se obtiene que:
ua−→= (axa) ⋅ ux−→+(aya) ⋅ uy→
Dado el vector
a→=3⋅i→+ 4⋅j→
a) Calcula 2⋅a→
b) Calcula el vector unitario de a→ , u→a
Para calcular el vector aplicaremos la definición del producto de un escalar por un vector
λ ⋅ a→=(λ ⋅ ax) ⋅ i→+ (λ ⋅ ay) ⋅ j→
donde λ = 2
2⋅a→=(2⋅3)⋅i→+ (2⋅4)⋅j→ ⇒
2⋅a→=6⋅i→+ 8⋅j→
Cuestión b)
Para calcular el vector unitario del vector a, en primer lugar calcularemos el módulo del vector
∣∣a→∣∣ = ∣∣32+42−−−−−−√∣∣=∣∣25−−√∣∣ = 5
A continuación, teniendo en cuenta la definición de vector unitario
ua−→= (axa) ⋅ ux−→+(aya) ⋅ uy→
Sustituimos los valores que ya conocemos
ua−→= (35) ⋅ i→+(45) ⋅ j→
Producto vectorial:
El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido.
El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el seno del ángulo que los separa.
La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos.
El sentido se calcula con la regla de la mano derecha, en donde el pulgar indica el sentido del vector resultado. Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se multiplican los vectores, ya que determina el sentido del vector resultado.
Ejemplo:
Sean los vectores = (4, 0, 0) y = (2, 2, 0) calcular el producto vectorial si entre ellos forman un ángulo de 45º.
Calculamos el módulo de : || = √(ax2 + ay2 + az2) = √(42 + 02 + 02) = √16 = 4
Calculamos el módulo de : || = √(bx2 +by2 + bz2) = √(22 + 22 + 02) = √22 (1 + 1) = 2√2
Seno de 45º = √2 / 2
Vector unitario n = (0, 0, 1)
Por lo tanto, x = (|| · || · sen α) · n = 4 · 2√2 · √2 / 2 · n = 4 · 2 · n = 8 n = (0, 0, 8)
Garcia Mojica Leonardo 3IM2
Producto de un escalar por un vector
ResponderBorrarSi tenemos un escalar α∈Rα∈R y un vector ⃗v=(v1,v2)v→=(v1,v2) de R2, su producto es el vector. Es decir, es el vector que se obtiene de multiplicar las coordenadas del vector ⃗v por el escalar α. Éste cuenta con 7 propiedades fundamentales, que son:
-Propiedad 1
Si α>0, entonces el vector α⋅⃗v tiene la misma dirección y sentido que ⃗v.
-Propiedad 2
Si α<0, entonces el vector α⋅⃗v tiene la misma dirección y sentido opuesto que ⃗v.
-Propiedad 3
Si |α|>1, entonces la longitud del vector α⋅⃗v es mayor que la de ⃗v.
-Propiedad 4
Si |α|<1, entonces la longitud del vector α⋅⃗v es menor que la de ⃗v.
-Propiedad 5
El módulo del α⋅⃗v cumple más exactamente.
-Propiedad 6
El producto es distributivo respecto de la suma de vectores
-Propiedad 7
El producto es distributivo respecto de la suma de escalares
Básicamente se obtiene multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Producto escalar y vectorial de vectores
El producto escalar es una operación que consiste en multiplicar dos vectores, obteniendo como resultado un escalar.
EJEMPLO:
Dados los vectores
u=(1,5)
v=(-3,4)
*Calcular el producto escalar de ambos vectores
El primer paso es utilizar la expresión analítica:
u•v=1(-3)+5.4=-3+20=17
Luego hay que calcular el módulo de cada vector.
u=√1²+5²=√1+25=√26
v=√(-3)²+4²=√9+16=√25=5
Luego se sustituye el producto escalar en la fórmula:
17=√26.5.cos a
Luego se despeja el coseno del ángulo:
cos a=17/√26.5
Luego se usa la inversa del coseno para sacar el valor del ángulo, lo cual nos da:
a=48.17°
A este vector se le llamará vector w, el cual para ser perpendicular a u, su producto deberá ser igual a 0.
u•w=0
Luego se utiliza la expresión analítica para realizar el producto escalar:
(1,5)•(x,y)=0
Al buscar las coordenadas para cualquier coordenada hay que resolver un sistema de ecuaciones, el cual nos da como resultado:
v=(a,b)
Un vector normal tendrá las coordenadas:
n=(-b,a) o n=(b,-a)
Por lo tanto el vector perpendicular w tendrá como coordenadas:
w=(-5,1)
Y realizando su producto escalar mediante expresión analítica nos queda:
1(-5)+5.1=-5+5=0
Un producto vectorial es el resultado de multiplicar dos vectores, dando como resultante un vector nuevo, el cual es perpendicular a los anteriores.
EJEMPLO:
Calcular el producto vectorial de los vectores:
u = (1, 2, 3) y v = (−1, 1, 2).
Este se obtiene por determinantes:
uxv=| i j k | =|2 3| i-|1 3|j+|1 2|k
1 2 3 1 2. -1 2. -1 1
-1 1 2
=i-5j+3k
Sánchez Bedolla Adriana Lizbeth
Producto de un escalar por un vector
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
Producto de un escalar por un vector
Ejemplo
Producto de un escalar por un vector
Producto de un vector por un escalar
Ejemplo
Producto de un escalar por un vector
Producto de un vector por un escalar
Representación Gráfica del Producto Escalar
El producto escalar de un vector a→ y otro b→, denotado como a→ ⋅ b→ devuelve un número (escalar) tal que,
a→ ⋅ b→= ∣∣a→∣∣ ⋅ ∣∣∣b→∣∣∣ ⋅ cos(α)
donde α es el angulo que forman los vectores a→ y b→.
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
El producto vectorial de un vector a→ y otro b→ , denotado como a→×b→ , es un vector r→ tal que:
Módulo : ∣∣∣a→×b→∣∣∣=∣∣a→∣∣⋅∣∣∣b→∣∣∣⋅sin(α)
Dirección : Es perpendicular al plano que definen ambos vectores
Sentido : Queda definido por cualquiera de las siguientes reglas:
Regla del sacacorchos o del tornillo. El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos o tornillo que girase desde a→ hasta b→ por el camino más corto
Regla de la mano derecha con la palma. También puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde a→ hasta b→ por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura inferior
Regla de la mano derecha con tres dedos. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice ( a→ ), corazón o medio ( b→ ) y pulgar ( a→×b→ ), tal y como se ve en la figura inferior
RAMIREZ MALDONADO SANTIAGO ENRIQUE GPO.3IM-2
El producto vectorial y el producto escalar son las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. La magnitud del producto vectorial se representa de la forma:
ResponderBorrary la dirección es dada por la regla de la mano derecha. Si los vectores se expresan por medio de sus vectores unitarios i, j, y k en las direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se expresa de esta forma bastante engorrosa, que corresponde al desarrollo de la forma mas compacta de un determinante del producto
Suma de vectores ejercicios resueltos
Te propongo los siguientes seis ejercicios. Para practicar más puedes hacer todos los ejercicios por los tres métodos y verás que obtendrás la misma respuesta.
1. Tenemos los siguientes vectores:
suma de vectores ejercicios resueltos 1
Este ejercicio lo resolveré por componentes;
θa = 60°
θb = 180 – 70 = 110°
ax = 20 cos 60= 10
bx = 30 cos 110= -10.26
ay = 20 sen 60 = 17.32
by = 30 sen 110 = 28.19
c = <10 – 10.26, 17.32 + 28.19>
c = <.26, 45.51>
Mandujano Sandoval Mario 3IM-2